三维常系数线弹性方程的有限元程序实现
一、问题描述
求解平衡态下弹性体的位移场。
- 弹性体受体力和面力,满足力的平衡方程和相应的边界条件;
- 均匀各向同性材料,满足特定本构方程(胡克定律)。
1. 微分形式
有界闭区域$\Omega$满足如下力的平衡方程、边界条件和本构方程:
$$
\begin{cases}
-\partial_j \sigma_{ij}(\vec u) = f_i,~\vec x \in \Omega^{\circ} \\
\vec u = 0,~\vec x \in \Gamma_0 \\
\sigma_{ij}(\vec u) n_j = g_i,~~\vec x \in \Gamma_1,
\end{cases}
$$
其中已知量:
- $\vec f \in L_2(\Omega)$ 弹性体所受体力密度场,
- $\vec g \in L_2(\Gamma_1)$ 弹性体边界所受面力场,
未知量:
- $\vec u$ 平衡时初始区域位移场,
$$
\varepsilon_{ij}(\vec u) = \frac{1}{2}(\partial_i u_j + \partial_j u_i),
$$
$$
\sigma_{ij} = \lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij} + 2\mu\varepsilon_{ij},
$$
其中:
- $\varepsilon$ 无穷小应变张量,
- $\sigma$ 应力张量。