中南大学学业辅导室 复变函数班
主要使用教材:《复变函数论》(第四版) 钟玉泉
讲义内容:第一章-复数与复变函数
开课寄语
自我介绍 联系方式(QQ,手机)
学好复变函数的意义:加权(奖学金、荣誉奖励);保研考试、考研复试;后续课程
如何学好复变函数:演绎科学,定义和定理;多参考基本教科书,多做习题总结,多看几遍温故知新
辅导班的目的:打好基础,享受考试;结合课后习题和部分补充习题梳理书本重要知识点,适当补充相关内容
复数与复变函数
介绍什么是(单)复变函数 对应于数学分析中的函数,自变量和因变量都为复数
复数的表示形式
代数形式
多项式方程求根 特别地,二项方程中的$x^2=-1=>x=i$
扩充数域$R=>C$,定义复数域中的运算,需要引入代数形式$z=x+iy$
定义相等,类比多项式 加减共轭(四则运算、复根成对出现) 乘除开方(开方值不唯一):$(-8)^{1/3}= -2,1-\sqrt3i,1+\sqrt3i $
模的定义 不等式、等式的证明 (1.2.4,1.2.5,1.2.6)
三角形式
平面点的对应,引入极坐标三角形式 $r(cos\theta+isin\theta), r>0 $,建立了与几何的紧密联系
模和幅角的几何意义
幅角 Arg arg 主值 1.1.1
加减 共轭 的几何意义
指数形式 $re^{i \theta} ,r>0$
数学分析下册P64 复变量的指数函数·欧拉公式
优点:方便乘除运算,呈现乘除的几何意义(1.2.1、1.2.2),模的乘除运算;定义开方运算(1.1.3 )
补充:可以导出 三角恒等式:两角和、进而有和差化积
复(函)数与几何
复数的模、运算有着十分生动的几何意义,因而复数之间的关系式能够反映出它们在复平面上的几何关系;复变函数的变换(映射)本质给出了“两张”复平面上点的对应关系。这决定了它们能够作为今后我们研究平面几何的有力工具。
复数方程=>几何对象
学会从代数关系理解几何意义
几个典型例子
1.1.4,1.1.6,1.1.10
1.1.7 1.1.8
1.2.10 ,1.2.3
1.1.11
反演变换
1.2.11在数学物理中的应用(球壳电势、Green函数)
几何对象=>复数方程
学会用代数关系刻画几何关系
1.1.5 1.2.8
复数的点集拓扑基础
极限理论
距离 邻域 定义极限收敛 复数列收敛的等价定义(1.1.17 代数和三角)
柯西收敛准则(1.1.18) 的启示、总结方法 借助实数域的结论使其推广到复数域
引理和定理的作用:灵活运用已知结论 省去重复工作
习题1.1.19
连续性理论
连续的等价定理、四则运算 1.1.15,1.1.12
1.1.13,1.1.16,1.1.20